home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter8.2p < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  14KB  |  599 lines
  1. à 8.2è LaPlace Transform Solution ç Second Order Equations
  2.     èèè
  3.  
  4. äè Solve ê ïitial value problem via LaPlace transforms
  5.  
  6. â    èèForèy» + 3y = 2 ;èy(0) = -3 .èTakïg ê LaPlace
  7.     transform ç this differential equation yields [Y = ÿ{y}] 
  8.     èsY + 3 + 3Y = 2/s.èRearrangïg (s+3)Y = (2-3s)/sèor
  9.     Y = (2-3s)/[s(s+3]èUsïg partial fraction decomposition
  10.     yieldsèY = 2/3 1/sè-è11/3 1/(s+3).èUsïg ê table ë do
  11.     ê ïverse transform givesèy = 2/3 - 11/3 eúÄ▐ as ê
  12.     specific solution ç ê ïitial value problem.
  13.  
  14. éSè The LAPLACE TRANSFORM can be used ë directly solve an 
  15.     Initial Value Problem which has a lïear, constant coeffi-
  16.     cient differential equation.èThis is due ë ê transform
  17.     property ç ê derivative function ç order n. 
  18.  
  19.     ÿ{fÑⁿª(t)} = sⁿÿ{f(t)} - sⁿúîf(0) - ∙∙∙ 
  20.     èèèèèèèèèèèè- sfÑⁿú²ª(0) - fÑⁿúîª(0)
  21.     
  22.     As is seen, ê n-1 ïitial conditions are embedded ï ê
  23.     transform.èThis is different from ê usual technique for
  24.     solvïg ïitial value problems ç first fïdïg a GENERAL
  25.     SOLUTION ç ê differential equation å ên substitutïg
  26.     ê ïitial ïdependent variable ïë ê general solution
  27.     å its derivatives å ên solvïg for ê n arbitrary
  28.     constants.
  29.  
  30.     èèPart ç ê ease ç ê LaPlace transform technique is ë
  31.     use a table ç tranforms.èThe followïg table should be 
  32.     copied for use ï ê problems ç this å ê next section.
  33.  
  34.     èèèèèèèèèè1
  35.     1.èèèÿ{ 1 }è=è───
  36.     èèèèèèèèèès
  37.  
  38.     èèèèèèèèèè n!
  39.     2.èèèÿ{ tⁿ } =è──────
  40.     èèèèèèèèèèsⁿóî
  41.  
  42.     èèèèèèèèèè 1
  43.     3.èèèÿ{ e╜▐ } = ─────
  44.     èèèèèèèèèès-a
  45.  
  46.     èèèèèèèèèèèès
  47.     4.èèèÿ{cos[at]} = ───────
  48.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  49.  
  50.     èèèèèèèèèèèèa
  51.     5.    ÿ{sï[at]} = ───────
  52.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  53.  
  54.     èèèèèèèèèèèè s
  55.     6.    ÿ{cosh[at]} = ───────
  56.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  57.  
  58.     èèèèèèèèèèèè a
  59.     7.    ÿ{sïh[at]} = ───────
  60.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  61.  
  62.     èèèèèèèèèèèèèès-a
  63.     8.    ÿ{e╜▐cos[bt]} = ───────────
  64.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  65.  
  66.     èèèèèèèèèèèèèè b
  67.     9.    ÿ{e╜▐sï[bt]} = ───────────
  68.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  69.  
  70.  
  71.     10.    ÿ{fÑⁿª(t)} = sⁿÿ{f(t)} - sⁿúîf(0) - ∙∙∙ 
  72.     èèèèèèèèèèèè- sfÑⁿú²ª(0) - fÑⁿúîª(0)
  73.  
  74.  
  75.     11.è ÿ{ C¬f¬(t) + C½f½(t) } = C¬ÿ{ f¬(t) } + C½ÿ{ f½(t) }
  76.  
  77.     èè The basic technique is ê usual transform process
  78.     1)    Transform ê problem ë a different but related
  79.         variable
  80.     2)    Solve ê transformed problem ï terms ç ê
  81.         related variable.
  82.     3)    Transform back ë ê origïal variable ë get ê
  83.         solution ë ê origïal problem.
  84.  
  85.     èèThese steps will be illustrated ï solvïg ê ïitial
  86.     value problem
  87.  
  88.         y»» - yè=è0
  89.         y(0)è= 3
  90.         y»(0) = 2
  91.  
  92.  
  93.     1)èèTake ê LaPlace transform ç ê entire differential
  94.     equation å use ê DERIVATIVE property å ê LINEARITY
  95.     property 
  96.  
  97.         ÿ{ y»» - y }è=èÿ{ 0 }
  98.  
  99.     By lïearity
  100.  
  101.         ÿ{ y»» } - ÿ{ y }è=è0
  102.  
  103.     By ê derivative property
  104.  
  105.         sìÿ{ y }è- sy(0)è-èy»(0)è-èÿ{ y }è=è0
  106.  
  107.     Substitutïg for ê ïitial values å settïg Y = ÿ{y}
  108.  
  109.         sìYè-è3sè-è2è- Yè=è0
  110.  
  111.  
  112.     2)    Solve for Y(s) å use PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION
  113.     ë write Y as a sum ç fractions whose denomïaërs are lïear
  114.     terms or irreducible (over ê reals) quadratic terms.
  115.  
  116.     Rearrangïg
  117.  
  118.         (sì - 1)Yè=è3s + 2
  119.  
  120.     Solvïg for Y
  121.         èèè 3s+2èèèèè3s+2
  122.         Yè=è──────è=è────────────
  123.         èèè sì-1èèè (s-1)(s+1)
  124.     
  125.     The partial fraction decomposition is
  126.  
  127.     èèè 3s + 2èèèèèAèèèè B
  128.     èè────────────è=è─────è+è─────
  129.     èè (s-1)(s+1)èèè s-1èèè s+1
  130.  
  131.     where A å B are constants ë be determïed.
  132.  
  133.     èèMultiplyïg both sides byè(s-1)(s+1) yields
  134.  
  135.     èèè3s + 2è=èA(s+1) + B(s-1)
  136.  
  137.     èèThere are several methods for solvïg for A å B. 
  138.     Probably ê easiest, particularly when lïear facërs are
  139.     ïvolved is ë substitute strategic values ç s.èFor this
  140.     case substitute values ç s that make ê multiplyïg facërs
  141.     zeroèi.e.ès = -1, 1
  142.  
  143.     s = 1è 5 = 2Aè i.e.èA = 5/2
  144.  
  145.     s = -1è-1 = -2B i.e.èB = 1/2
  146.  
  147.     Thusèèèèè5è 1èèè 1è 1
  148.     èèèèYè=è─ ─────è+è─ ─────è 
  149.     èèèèèèè2ès-1èèè2ès+1
  150.  
  151.  
  152.     3)    Use ê table ë take ê ïverse transform i.e. go
  153.     from ê transformed solution Y(s) back ë ê orgïal 
  154.     solution y(t).èLook ï ê table ë fïd ê transform 
  155.     given with its specific value ç constant(s) å write it
  156.     ï terms ç ê origïal function ç t.èThe lïearity
  157.     property holds ï both directions.
  158.  
  159.     Usïg ê transform
  160.     èèèèèèèèèè 1
  161.     èèèèÿ{ e╜▐ } = ─────
  162.     èèèèèèèèèès-a
  163.  
  164.     with a = 1èfor 1/s-1èå a = -1 for 1/s+1,
  165.     ê specific solution becomes
  166.  
  167.         y = 5/2 e▐ + 1/2 eú▐
  168.  
  169.  1    y» - 3y = 0èèy(0) = 4
  170.  
  171.  
  172.     A)    y = 4eÄ▐        B)    y = -4eÄ▐
  173.  
  174.     C)    y = 4eúÄ▐        D)    y = -4eúÄ▐
  175.  
  176. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  177.  
  178.         y» - 3y = 0
  179.         
  180.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  181.     å callïg Y = ÿ{ y }
  182.     
  183.     èsY - y(0) - 3Y = 0
  184.  
  185.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  186.  
  187.     è (s-3)Y - 4 = 0
  188.  
  189.     Or
  190.         èèè 4èèèèè 1
  191.         Y =è─────è=è4 ─────
  192.         èèès-3èèèè s-3
  193.  
  194.     This is already ï ê desired form, so ê reverse transform
  195.     can be done ë yield ê specific solution
  196.  
  197.         y =è4eÄ▐
  198.  
  199. ÇèA
  200.  
  201.  2    y» - 3yè=èeÄ▐è;èy(0) = 4    è 
  202.  
  203.  
  204.     A)    y = (t+4)eÄ▐        B)    y = (t-4)eÄ▐
  205.  
  206.     C)    y = (t+4)eúÄ▐        D)    y = (t-4)eúÄ▐
  207.  
  208. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  209.  
  210.         y» - 3y = eÄ▐
  211.         
  212.     yields via ê lïearity property, ê derivative property,
  213.     å callïg Y = ÿ{ y }
  214.     
  215.     èsY - y(0) - 3Y = ÿ{ eÄ▐ }è=è1/ s-3
  216.  
  217.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  218.     èèèèèèèèè1
  219.     è (s-3)Y - 4 = ─────
  220.     èèèèèèèè s-3
  221.     
  222.     èèèèèèèè1èèè 
  223.     è (s-3)Yè=è───── + 4 
  224.     èèèèèèè s-3èèè
  225.  
  226.         èèèèè1èèèè 4èèèè
  227.         Yè=è────────è+ ───── 
  228.         èèè (s-3)ìèèès-3
  229.  
  230.         Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  231.  
  232.         y =èteÄ▐ + 4eÄ▐ = (t+4)eÄ▐
  233.  
  234. ÇèA
  235.  
  236.  3    y» - 3yè= sï[t]è y(0) = 4
  237.  
  238.     A)    41/10 eÄ▐ + 1/10 cos[t] + 9/10 sï[t]
  239.     B)    41/10 eÄ▐ + 1/10 cos[t] - 9/10 sï[t]
  240.     C)    41/10 eÄ▐ - 1/10 cos[t] + 9/10 sï[t]
  241.     D)    41/10 eÄ▐ - 1/10 cos[t] - 9/10 sï[t]
  242.  
  243. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  244.  
  245.         y» - 3y = sï[t]
  246.         
  247.     yields via ê lïearity property, ê derivative property,
  248.     å callïg Y = ÿ{ y }
  249.     èèèèèèèèèèèèèèèèèèè1
  250.     èsY - y(0) - 3Y = ÿ{ sï[t] }è=è──────
  251.     èèèèèèèèèèèèèèèèèèsì+1
  252.  
  253.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  254.     èèèèèèèèè 1
  255.     è (s-3)Y - 4 = ──────
  256.     èèèèèèèè sì+3
  257.     
  258.     èèèèèèèè 1èèèèèè4sì+5 
  259.     è (s-3)Yè=è────── + 4è=è─────── 
  260.     èèèèèèè sì+3èèèèèèsì+3
  261.  
  262.         èèèèè4sì+5èèèè
  263.         Yè=è──────────── 
  264.         èèè (s-3)(sì+1)
  265.  
  266.     è Usïg partial fraction decomposition requires
  267.  
  268.     èèèè 4sì+5èèèè Aèèè Bs+C
  269.     èèè───────────è=è───è+è──────
  270.     èèè(s-3)(sì+1)èè s-3èèèsì+1
  271.     
  272.     where A, B, C are undetermïed constants.
  273.  
  274.     è Multiplyïg this equation by (s-3)(sì+1), ê least common
  275.     denomïaër yields
  276.  
  277.         4sì+5è=èA(sì+1) + (Bs+C)(s-3) 
  278.  
  279.     If s = 3èè41 =è10Aèi.e.èA = 41/10
  280.  
  281.     If s = 0èè 5 =èA - 3Cè=è41/10 - 3C
  282.         èè3C = 41/10 - 5 = -9/10èi.e. C = -3/10
  283.  
  284.     If s = 1èè 9 = 2A - 2B - 2Cè= 82/10 - 2B + 6/10
  285.     èèèèèè2B = 88/10 - 9 = -2/10èi.e B = -1/10
  286.  
  287.     Thusèèèèè41èè1èèèè1èè 1èèèè9èè 1
  288.     èèè Yè=è──── ─────è-è─── ──────è-è─── ──────
  289.     èèèèèèè10è s-3èèè 10èsì+1èèè 10èsì+1
  290.  
  291.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  292.  
  293.         èè 41èèèèè1èèèèèè 9
  294.         y =è── eÄ▐è-è── cos[t]è-è── sï[t]
  295.         èè 10èèèè 10èèèèèè10
  296.  
  297. ÇèD
  298.  
  299.  4    y»» + 4yè=è0è y(0) = 3è y»(0) = -4
  300.  
  301.     A)    3cos[2t] + 2sï[2t]
  302.     B)    3cos[2t] - 2sï[2t]
  303.     C)    -3cos[2t] + 2sï[2t]
  304.     D)    -3cos[2t] - 2sï[2t]
  305.  
  306. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  307.  
  308.         y»» + 4yè=è0
  309.         
  310.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  311.     å callïg Y = ÿ{ y }
  312.     
  313.     èsìY - sy(0) - y»(0) + 4Y = 0
  314.  
  315.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  316.     èèèèèèèèè
  317.     è (sì+4)Y - 3s + 4 = 0
  318.         èèè 
  319.     è (sì+4)Yè=è3s - 4èè 
  320.  
  321.         èèè 3s-4èèèèè sèèèèèè2s
  322.         Yè=è──────è=è 3 ──────è-è2 ────── 
  323.         èèè sì+4èèèèèsì+4èèèè sì+4
  324.  
  325.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  326.  
  327.         y =è3cos[2t] - 2sï[2t]
  328.  
  329. ÇèB
  330.  
  331.  5    y»» - y =èeì▐èè y(0) = 3è y»(0) = 2
  332.  
  333.     A)    1/3 eì▐ + 2e▐ + 2/3eú▐
  334.     B)    1/3 eì▐ + 2e▐ - 2/3eú▐
  335.     C)    1/3 eì▐ - 2e▐ + 2/3eú▐
  336.     D)    1/3 eì▐ - 2e▐ - 2/3eú▐
  337.  
  338. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  339.  
  340.         y»» - yè=èeì▐
  341.         
  342.     yields via ê lïearity property, ê derivative property,
  343.     å callïg Y = ÿ{ y }
  344.     
  345.     èsìY - sy(0) - y»(0) - Y = ÿ{ eì▐ }
  346.  
  347.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  348.     èèèèèèèèèèèè 1
  349.     è (sì-1)Y - 3s - 2 =è─────
  350.         èèèèèèèès-2
  351.     èèèèèèèèèèèèè 1èèè3sì-4s-3
  352.     è (sì-1)Yè=è3s + 2è+ ───── = ──────────èè 
  353.     èèèèèèèèèèèèès-2èèèès-2
  354.         èèèèè3sì-4s-3èèè 
  355.         Yè=è───────────────── 
  356.         èèè (s-1)(s+1)(s-2)
  357.  
  358.     è Usïg partial fraction decomposition requires
  359.  
  360.     èèèè3sì-4s-3èèèèèèAèèèè Bèèèè C
  361.     èè─────────────────è=è─────è+è─────è+è─────
  362.     èè (s-1)(s+1)(s-2)èèè s+1èèè s-1èèè s-2
  363.     
  364.     where A, B, C are undetermïed constants.
  365.  
  366.     è Multiplyïg this equation by (s+1)(s-1)(s-2), ê least 
  367.     common denomïaër yields
  368.  
  369.      3sì-4s-3è=èA(s-1)(s-2) + B(s+1)(s-2) + C(s+1)(s-1)    
  370.  
  371.     Set s = -1è 4 = 6Aèi.e.èA = 2/3
  372.  
  373.     Set s = 1è -4 = -2Bèi.e. B = 2
  374.  
  375.     Set s= 2èè 1 = 3Cè i.e. C = 1/3
  376.  
  377. èèèè    èè 2è 1èèèèè1èèè1è 1
  378.         Yè= ─ ─────è+ 2 ─────è+ ─ ─────
  379.         èè 3ès+1èèèès-1èè 3ès-2
  380.  
  381.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  382.  
  383.         y =è2/3 eú▐ + 2e▐ + 1/3 eì▐
  384.  
  385. ÇèA
  386.  
  387.  6    y»» - 4y = 2t - 3èèy(0) = 3è y»(0) = -4
  388.  
  389.     A)    3/4è+è1/2 tè+è1/4 eì▐è+ 2 eì▐
  390.     B)    3/4è+è1/2 tè+è1/4 eì▐è- 2 eì▐
  391.     C)    3/4è+è1/2 tè-è1/4 eì▐è+ 2 eì▐
  392.     D)    3/4è-è1/2 tè+è1/4 eì▐è+ 2 eúì▐
  393.  
  394. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  395.  
  396.         y»» - 4yè=è2t - 3
  397.         
  398.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  399.     å callïg Y = ÿ{ y }
  400.     
  401.     èsìY - sy(0) - y»(0) - 4Y = ÿ{ 2t - 3 }
  402.  
  403.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  404.     èèèèèèèèèèèè2èèè 3
  405.     è (sì-4)Y - 3s + 4 =è───è-è───
  406.         èèèèèèèèsìèèès
  407.     èèèèèèèèèèèèè2èè 3èè 3sÄ - 4Äs -3s + 2
  408.     è (sì-4)Yè=è3s - 4è+ ─── - ─── = ───────────────────èè 
  409.     èèèèèèèèèèèèèsìèèsèèèèèè sì
  410.         èèè 3sÄ-4sì-3s+2èèè 
  411.         Yè=è────────────── 
  412.         èèèèsì(s-2)(s+2)
  413.  
  414.     è Usïg partial fraction decomposition requires
  415.  
  416.     èè 3sÄ-4sì-3s+2èèè Aèèè Bèèè CèèèèD
  417.     èè──────────────è=è───è+è───è+ ────è+è─────
  418.     èè sì(s-2)(s+2)èèè sèèè sìèè s-2èèès+2
  419.     
  420.     where A, B, C, D are undetermïed constants.
  421.  
  422.     è Multiplyïg this equation by sì(s+2)(s-2), ê least 
  423.     common denomïaër yields
  424.  
  425. è 3sÄ-4sì-3s+2 = As(s-2)(s+2) + B(s-2)(s+2) + Csì(s+2) + Dsì(s-2)
  426.  
  427.     Set s = 0èè2è=è-4Bèi.e.èB = -1/2
  428.  
  429.     Set s = -2è-32 = -16Dèi.e.èD = 2
  430.  
  431.     Set s = 2è 4 = 16Cèi.e. C = 1/4
  432.  
  433.     Set s= 1èè-2 = -3A - 3B + 3C - D = -3A + 3/2 + 3/4 - 2
  434.         èè-9/4 = -3Aèi.e.èA = 3/4
  435. èèèè    èè 3 1èè 1è1èè 1è 1èèèèè1è
  436.         Yè= ─ ─è-è─ ───è+ ─ ─────è+ 2 ─────
  437.         èè 4 sèè 2èsìèè4ès-2èèèès+2
  438.  
  439.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  440.  
  441.         y =è3/4 - 1/2ètè+è1/4 eì▐è+è2eúì▐
  442.  
  443. ÇèD
  444.  
  445.  7    y»» - 4y» + 3y = 0èè y(0) = -2èèy»(0) = 5
  446.  
  447.     A)    11/2 e▐ + 7/2 eÄ▐
  448.     B)    11/2 e▐ - 7/2 eÄ▐
  449.     C)    -11/2 e▐ + 7/2 eÄ▐
  450.     D)    -11/2 e▐ - 7/2 eÄ▐
  451.  
  452. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  453.  
  454.         y»» - 4y» + 3yè=è0
  455.         
  456.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  457.     å callïg Y = ÿ{ y }
  458.     
  459.     èsìY - sy(0) - y»(0) - 4{ sY - y(0)} + 3Y = 0
  460.  
  461.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  462.     èèèèèèèèè
  463.     è (sì-4s+3)Y + 2s - 5 - 8 = 0
  464.         èèè 
  465.     è (sì-4s+3)Yè=è-2s + 13èè 
  466.  
  467.         èèèè -2s+13èèèèè 
  468.         Yè=è────────────è
  469.         èèè (s-1)(s-3)è 
  470.  
  471. è Usïg partial fraction decomposition requires
  472.  
  473.  
  474.     èèè -2s+13èèèèèAèèèè Bè 
  475.     èè────────────è=è─────è+è───── 
  476.     èè (s-1)(s-3)èèè s-1èèè s-3
  477.     
  478.     where A, B are undetermïed constants.
  479.  
  480.     è Multiplyïg this equation by (s-1)(s-3), ê least 
  481.     common denomïaër yields
  482.  
  483.     èèè -2s + 13è=èA(s - 3)è+èB(s - 1)
  484.  
  485.     For s = 1è 11 =è-2Aèi.e.èA = -11/2
  486.  
  487.     For s = 3èè7 =è2Bè i.e.èB = 7/2
  488.  
  489.     Thusèèèèè 11è 1èèè 7è 1
  490.     èèè Yè=è- ── ─────è+è─ ─────
  491.     èèèèèèèè2ès-1èèè2ès-3
  492.  
  493.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  494.  
  495.         y =è-11/2 e▐ + 7/2 eÄ▐
  496.  
  497. ÇèC
  498.  
  499. è8    y»» + 3y» + 2y = 7èè y(0) = 6è y»(0) = -3
  500.  
  501.     A)    7/2è+è2 eú▐è+è1/2 eúì▐
  502.     B)    7/2è+è2 eú▐è-è1/2 eúì▐
  503.     C)    7/2è-è2 eú▐è+è1/2 eúì▐
  504.     D)    -7/2è+è2 eú▐è+è1/2 eúì▐
  505.  
  506.  
  507. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  508.  
  509.         y»» + 3y» + 2yè=è7
  510.         
  511.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  512.     å callïg Y = ÿ{ y }
  513.     
  514.     èsìY - sy(0) - y»(0) + 3{ sY - y(0)} + 2Y = ÿ{ 7 }
  515.  
  516.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  517.     èèèèèèèèèèèèèèè 7
  518.     è (sì+3s+2)Y - 6s + 3 - 18 = ───
  519.         èèèèèèèèèèè s
  520.  
  521.     èèèèèèèèèèèèèè 7èèè6sì + 15s + 7
  522.     è (sì+3s+2)Yè=è6s + 15 + ───è= ───────────────
  523.     èèèèèèèèèèèèèè sèèèèèès
  524.         èèèè6sì+15s+7èèèèè 
  525.         Yè=è────────────è
  526.         èèè s(s+1)(s+2)è 
  527.  
  528.     è Usïg partial fraction decomposition requires
  529.  
  530.     èèè6sì+15s+7èèè AèèèèBèèèè C
  531.     èè────────────è=è───è+è─────è+è───── 
  532.     èè s(s+1)(s+2)èèèsèèè s+1èèè s+2
  533.     
  534.     where A, B, C are undetermïed constants.
  535.  
  536.     è Multiplyïg this equation by s(s+1)(s+2), ê least 
  537.     common denomïaër yields
  538.  
  539.     èè6sì+15s+7è=èA(s+1)(s+2) + Bs(s+2) + Cs(s+1)
  540.  
  541.     For s = 0è 7 =è2Aèi.e.èA = 7/2
  542.  
  543.     For s = -1è-2 = -Bèi.e.èB = 2
  544.  
  545.     For s = -2è1 = 2Cèi.e.èC = 1/2
  546.  
  547.     Thusèèèè7è1èèèè1èèè1è 1
  548.     èèè Yè= ─ ─── - 2 ───── +è─ ─────
  549.     èèèèèè2èsèèè s+1èè 2ès+2
  550.  
  551.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  552.  
  553.         y =è7/2 - 2eú▐ + 1/2 eúì▐
  554.  
  555. ÇèC
  556.  
  557.  9    y»» + 2y» + 2yè=è0èèy(0) = 6èèy»(0) = -3
  558.  
  559.     A)    6eú▐cos[t] + 3eú▐sï[t]
  560.     B)    6eú▐cos[t] - 3eú▐sï[t]
  561.     C)    -6eú▐cos[t] + 3eú▐sï[t]
  562.     D)    -6eú▐cos[t] - 3eú▐sï[t]
  563.  
  564. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  565.  
  566.         y»» + 2y» + 2yè=è0
  567.         
  568.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  569.     å callïg Y = ÿ{ y }
  570.     
  571.     èsìY - sy(0) - y»(0) + 2{ sY - y(0)} + 2Y = 0
  572.  
  573.     Substitutïg ê ïitial value å rearrangïg
  574.     èèèèèèèèèèèèèèè 
  575.     è (sì+2s+2)Y - 6s + 3 - 6è=è0
  576.         èèèèèèèèèèè 
  577.     è (sì+2s+2)Yè=è6s + 3
  578.     èèèèèèèèèèèè
  579.         èèèè6s+3èèèèè 
  580.         Yè=è─────────è
  581.         èèè sì+2s+2è 
  582.  
  583.     Asèsì+2s+2 is an IRREDUCIBLE QUADRATIC, this is fïal form
  584.     if ê square is completed ï ê denomïaër     
  585.  
  586.         èèèèèè sèèèèèèè 1èèè
  587.         Yè=è6 ──────────è+è3 ──────────è
  588.         èèèè (s+1)ì+1èèèè (s+1)ì+1
  589.  
  590.     Usïg ê reverse transform yields ê specific solution
  591.  
  592.         y =è6eú▐cos[t] + 3eú▐sï[t]
  593.  
  594. ÇèA
  595.  
  596.  
  597.  
  598.  
  599.